Vùng hội tụ (ROC) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức mà biến đổi Z tổng hội tụ.

Ví dụ 1 (không có ROC)

Cho x[n] = (0.5)n. Mở rộng x[n] trên khoảng (−∞, ∞), ta có

Nhìn vào tổng

Do đó, không có giá trị nào của z đáp ứng được điều kiện này.

Ví dụ 2 (ROC nhân quả)

Cho  x [ n ] = 0.5 n u [ n ]   {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ } (trong đó u là hàm bước Heaviside). Triển khai x[n] trong khoảng (−∞, ∞) nó sẽ thành

Nhìn vào tổng

Phương trình cuối phát sinh từ chuỗi hình học vô hạn và sự phương trình đó chỉ giữ được nếu |0.5z−1| < 1, có thể được viết lại theo z với |z| > 0.5. Do đó, ROC là |z| > 0.5.Trong trường hợp ROC là mặt phẳng phức với một dĩa có bán kính 0.5 tại gốc đâm.

Ví dụ 3 (ROC phi nhân quả)

Cho  x [ n ] = − ( 0.5 ) n u [ − n − 1 ]   {\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ } (trong đó u là hàm bước Heaviside). Triển khai x[n] trong khoảng (−∞, ∞) nó trở thành

Nhìn vào tổng

Sử dụng chuỗi hình học vô tận, một lần nữa, cân bằng chỉ được giữ nếu |0.5−1z| < 1, điều này có thể viết lại theo z khi |z| < 0.5. Do đó, ROC là |z| < 0.5. Trong trường hợp này ROC là một dĩa hội tụ tại gốc và có bán kính là 0.5.

Những gì phân biệt ví dụ này với ví dụ trước đó chỉ  là ROC. Điều này cố ý để chứng minh rằng kết quả biến đổi một mình nó là không đủ.

Kết luận từ các ví dụ

Ví dụ 2 & 3 chứng minh rõ ràng rằng biến đổi Z X(z) của x[n] là duy nhất khi và chỉ khi xác định ROC. Tạo ra biểu đồ cực-zero cho các trường hợp quan hệ nhân quả và phi nhân quả Hiển chỉ ra rằng ROC cho cả hai trường hợp không bao gồm cực tại 0.5. Điều này mở rộng cho các trường hợp có nhiều cực: ROC sẽ không bao giờ chứa các cực.

Trong ví dụ 2, hệ thống nhân quả đạt được một ROC bao gồm |z| = ∞ trong khi hệ thống phi nhân quả trong ví dụ 3 đạt được một ROC bao gồm |z| = 0.

Trong các hệ thống với nhiều cực, hoàn toàn có thể có một ROC mà bao gồm hoặc không  |z| = ∞ hoặc không  |z| = 0. ROC này tạo một dãi tròn. Ví dụ,

có các cực tại 0.5  và 0.75. ROC của nó sẽ là 0.5 < |z| < 0.75, không bao gồm cả điểm gốc và vô cùng. Một hệ thống như vậy được gọi là hệ thống nhân quả hỗn hợp vì nó chứa một cặp nhân quả (0.5)nu[n] và một cặp phi nhân quả −(0.75)nu[−n−1].

Sự ổn định của một hệ thống cũng có thể được xác định một mình ROC. Nếu ROC có vòng tròn đơn vị (tức là, |z| = 1) thì hệ thống là ổn định. Trong các hệ thống trên hệ thống quan hệ nhân quả (ví dụ 2) là ổn định vì |z| > 0,5 có chứa vòng tròn đơn vị.

Nếu bạn đang cung cấp một biến đổi Z của một hệ thống mà không có một ROC (tức là, một x[n] không xác định) bạn có thể xác định một x[n] duy nhất cung cấp cho bạn điều muốn biết sau đây:

• Tính ổn định
• Tính nhân quả

Nếu bạn cần sự ổn định thì ROC phải chứa vòng tròn đơn vị. Nếu bạn cần một hệ thống nhân quả thì ROC phải chứa vô tận và hàm hệ thống sẽ là một dãy bên phải. Nếu bạn cần một hệ thống phi nhân quả thì ROC phải chứa điểm gốc và hàm hệ thống sẽ là một dãy bên trái. Nếu bạn cần cả hai, sự ổn định và quan hệ nhân quả, tất cả các cực của hàm hệ thống phải được nằm bên trong vòng tròn đơn vị.

x[n] duy nhất sau đó có thể tìm thấy.